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在引领下交流，在交流中引领 ————“椭圆的简单几何性质”的教学与思考 作
者：
汪和平/程文星
作者简介：
汪和平，程文星，安徽省潜山野寨中学.
原发信息：
《中国数学教育：高中版》(沈阳)2016 年第 20161/2 期 第48-51 页
内容提要：
在情境与问题的引领下交流方法与思维，在师生交流中引领、感悟与思考，开展椭圆的简单几何性质的教学，通过梳理已有的知识结构，明确解析几何的方法与任务，经历数形反复转化与强化，讨论椭圆的对称性、顶点与范围，分别从方程特征和椭圆定义两个角度画椭圆，在观察、比较中理解离心率，营造民主氛围，激励学生分享各自独特的学习体会.
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词：
椭圆性质/课堂交流/教学引领
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 07 期
数学教学中常有重结论、轻过程的现象，教师习惯于讲授与练习，对学生容易懂的内容，常常一带而过，很少引领学生思考与交流，希望尽量挪出时间讲习题，感觉这样做会踏实一些.然而学生的感觉是：上课听得懂，课后不会运用；教师也常有怨言：一种题型讲了很多遍了，学生还是
不会做！笔者认为，课堂教学贵在交流与引领.数学课堂教学的一个重要目标是在引领学生学习数学知识的过程中探究本质、掌握方法、学会思维、培养能力、领悟思想、体验愉悦.师生围绕教学内容适时进行合作、探究、交流，是达成教学目标的重要途径之一.特别地，作为课堂教学引领者的教师需要仔细解读教材，把握学生的认知规律与特点，契合学生的思维状态，满足学生的心理需求，选取恰当的形式，引领学生在分享、体会的过程中交流思想，激发彼此的智慧.下面笔者结合人教版教材选修 2-1 中“椭圆的简单几何性质”的教学，谈谈本人对课堂教学交流与引领的实践与认识.
一、梳理体系，明确目标
学生学习椭圆的简单几何性质的认知基础有：根据椭圆定义画椭圆的操作实验，对椭圆定义有直观认识，对椭圆对称性、封闭性有感性认识.在此基础上，经历了合理地建立坐标系求椭圆标准方程的过程，对椭圆标准方程的获得与特征有初步认识，基本学会了求曲线方程的方法，能够运用方程表示平面曲线.本课的任务是通过方程研究曲线的几何性质，使学生理解数形结合的思想方法.
教学开始时，结合学生已有知识基础，引领学生系统认识解析几何方法与任务体系，提出两个问题供学生讨论：（1）我们已经学习了解析几何的一个重要任务，即根据已知条件，求出了一个优美的平面曲线——椭圆的标准方程，在求椭圆标准方程的过程中是如何建立坐标系的？说说你有什么体会？（2）我们求出的椭圆方程有什么作用？引导学生参与思考
与讨论，关注学生的需求，注重探究过程，让学生获取更多的知识、信息、体验、智慧、情意等，而这些不可能完全靠教师传授，需要学生自己思考、向同学倾诉想法，接受同学启发，通过多向、多种类型的信息交流，在丰富的情感与智力体验中逐渐明确将要学习的内容在数学知识结构中的地位与作用，获得多方面的收获和满足，同时教师在参与学生活动、进行学习评价的过程中，要注重引导学生运用数形结合的方法与意识进行思考.
二、多方探究，数形结合
回顾以往的教学经历，常有三个不合适的教学倾向.第一个是偏几何倾向，即运用几何画板软件动态演示椭圆的简单的几何性质，强调直观观察，而不注重运用方程研究性质；第二个是偏代数倾向，即从椭圆方程推导椭圆性质，而不注重在性质的产生与检验过程中联系椭圆的图形直观；第三个是简单化倾向，即认为椭圆的简单几何性质对学生来说比较简单，教学中将椭圆的简单几何性质列成一个表格，让学生填充好就草草完成新课教学，然后就进行解题训练，很少在知识的形成过程中关注学生对数学方法思想的领悟与体验.方法、能力、思想是在教学过程中逐渐生长出来的，思维是生长素，而课堂教学中的合作、探究与交流是生长所需的土壤，教学过程需要教师培育肥沃的土壤，引导学生展开课堂合作探究，交流心得体会，相互启发，激发数学思维，在利用方程研究曲线几何性质的过程中，应注重辨析和联系数与形，形成问题探究的意识，在辩论中领会学习内容的思想价值.
椭圆的范围、对称性、顶点是椭圆相互联系的基本特征与性质，教学时要尊重学生的认知规律，要让学生形成较为全面、直观的感性认识，故提出问题：请大家观察一个椭圆，结合我们画椭圆、求椭圆方程的过程，你认为椭圆有哪些特征？在讨论中，学生能直观认识到椭圆关于坐标轴和坐标原点对称，是封闭曲线，这是能运用数形结合方法研究椭圆的简单几何性质的知识基础.
学生易于从直观上认识椭圆的对称性，教师需引导学生结合方程理性认识，同时又需要在广泛联系中将理性与直观相结合，为此提出下列探究问题：（1）从运用定义画椭圆和建立坐标系求椭圆方程的过程中，我们知道了椭圆是对称图形，与之对应，椭圆方程有什么样的特征？（2）在方程 中，把 x 用-x 代替，方程不变，椭圆关于 y 轴对称，能否把其中的道理表述出来？（3）我们一般怎样证明曲线的对称性？
关于椭圆的对称性，让学生阅读教材，学生也能理解，这表明教学内容与学生的知识、认知基础有广泛的联系，此时教师应该引导学生积极思考、相互交流、启发，将新知识同化、顺应到已有认知结构中来，这个过程也是拓展学生认知视野，形成方法与能力的有效时机.在课堂上，有学生联想到函数奇偶性概念，提出问题：若函数 y=f（x）满足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=-f（x），则函数图象关于 y 轴或坐标原点对称，是否也可以将其看成以-x，-y 代替 x，y，方程不变？学生从方程或解析式的特征判断曲线的几何特征，将图形与方程、直观与理性结合起来思考，以及引导学生联想函数奇偶性等过程，包含着认知结构不断完善与学习主动性
充分发挥的体验.另外，教师与每位学生都有各自不同的认知基础与认知方式，教师的讲解也不一定能与每位学生的理解很好地对接，而鼓励学生参与课堂交流、讨论，创造发言者被认同或质疑和倾听者受启发的机会，可有利于拓展思维的深度与广度.
在进行“椭圆顶点与范围”的教学时，引导学生结合自己的作图经验开展交流：（1）结合椭圆的对称性可以方便地作椭圆，请大家自己确定一对 a，b（a＞b＞0）的值，画一个椭圆.（2）说一说你画椭圆的方法.学生纷纷说出自己的画法与认识：运用描点法画出第一象限内的一些点，连线后再由对称性画出其余象限内的曲线；先由方程确定曲线与坐标轴的交点，然后再画一些点就能画出曲线等.这时教师追问：（1）坐标系中的图形与方程的参数有何关系？图象与坐标轴的交点在曲线上的位置有何特征？能运用表达式来表示这些特征吗？能从椭圆方程推导这些表达式的特征吗？如果你有不同的推导方法请展示给大家.（2）椭圆上的点都介于直线 x=-a 和 x=a 之间，也介于直线 y=-b 和 y=b 之间，大家在刚才所作的图上画出这四条直线，可以得到哪些直观结论？（3）请将椭圆截两坐标轴所得弦与过椭圆中心的其他弦的长度进行比较，有什么结论？放手让学生自己探究讨论椭圆的简单几何性质，根据学生的发现适时提出问题，让学生思维自然地流淌.
数形结合是一个相互交融的、复杂的思维过程，这个思想方法的获得不是一次性完成的.引导学生作图操作、归纳方法，反复转换数与形的表现形式及其本质，交流各自的发现，深化对椭圆性质的理解，探究由方程求
曲线几何性质这一形成基本思想的重点内容，从相互联系中理解几何性质.在学生展示多种求法的过程中，学生之间的相互启发比教师的讲解更容易激发共鸣，但教师应适时地帮助学生提炼方法、强化意识，使其以积极的姿态参与其中.
三、操作辨析，理解意义
椭圆的离心率是一个难点，遵循从具体到抽象，从形式到实质，由浅入深，由表及里的思维引导过程，从学生的现实发展区选取信息进行交流，给足其思维缓冲的时间，以便顺利到达学生的可能发展区.首先可引导学生讨论交流下列问题：（1）大家根据方程特征分别画出椭圆 ，结合它们的外部框架比较一下两个椭圆的形状有什么显著不同？（2）两个椭圆的扁圆程度有明显差异，怎样衡量扁圆程度？（3）大家按照定义画出椭圆 ，如何运用定义中的焦距（2c）与长轴长（2a）度量椭圆的扁圆程度？
对于问题（1），学生认识到椭圆的扁圆程度是相对的，用外部框架的长与宽的比值可以直观衡量它的形状，即 越小，椭圆越扁，反之越圆，教师鼓励学生运用比值来度量一个相对量.对于问题（3），有学生指出将 转换为 ，因为 ，所以 越大，椭圆越扁，反之则椭圆越圆.在讨论中还得到椭圆短轴的两个端点和两个焦点组成一个菱形，边长为 a，两对角线长分别为 2b 和 2c，这个菱形的形状与椭圆形状也相关，它可以看成是椭圆的内部支架，内部支架和外部框架都可以确定椭圆
的主要特征.在上述探究的基础上，教师进一步指出，人们认识椭圆是从其定义开始的，人们早期是用定义中的 a，c 这两个量来度量椭圆的扁圆程度的，我们把 叫做椭圆的离心率，表示焦点离开中心的比例，它反映了椭圆的形状特征，大家课后研究一下离心率的相关应用，就可以体会到离心率 在表示椭圆及其他圆锥曲线特征上的优越性.
创设引人入胜的情境，以及发人深省的问题是引导学生参与课堂交流、积极思考、获取知识的前提，设计分别根据方程和定义两次画椭圆，根据方程画椭圆易于从直观上获得用 这一比值来表示椭圆的扁圆程度，而按照定义画椭圆的情境则易于让学生理解离心率的背景与意义.在学生清晰认识到椭圆形状可以用外部框架或内部支架确定后，教师再分析，给出离心率的合理定义，做学生学习的帮助者，自然而巧妙地参与到课堂交流活动中来，这比将离心率概念生硬地塞给学生更易于让学生接受与理解.
课堂教学结束前，引领学生回顾课堂学习历程、收获与体会.有学生说：我感觉通过方程来研究椭圆的几何性质很方便，它可以精确到每个点，好像开车时有了导航，知道具体位置和所走的路线.学生将方程比做导航，生动地解释了方程的解与平面坐标系内点坐标的对应关系.通过方程我们可以精确描述曲线上的点，将学到的新知识与原有的知识联系起来，将数学与生活联系起来，有学生说：自己最深刻的体会是椭圆曲线与方程之
间是对应的，两者之间能够相互推导与印证，看到图就会想到方程，看到方程也会联想到图形.在此基础上，教师进一步总结：这种感觉就是我们所说的数形结合，数形结合的一个方面就是数与形的相互转化，这种转化在同一个问题中常常需要反复进行，它可以开拓我们研究问题的角度、方法、形式与视野.
教师应适时地进行思维点拨、价值引领和智慧启迪，促使学生深入思考与深度交流，打破自身水平的限制，获得发展.尽管方程和导航是不同的，但这是学生在自己的知识储备、经验视界和生活阅历下对数与形的感悟，教师应及时给予鼓励、推广，这不仅丰富了大家的体验，也促进了师生之间的情感与思维交流，事实上，学生的理解也开阔了教师的视野.
五、自我内省，思考教学
满堂讲解传授常会掩盖或抹杀学生的个性，使课堂变得毫无生机，教师也会在索然无味的传授中产生困惑与职业倦怠.事实上，学生的经历千姿百态，认知方式各异，思维复杂奇妙，思想丰富多彩，对同一个问题，不同的学生认识和理解层次是不同的.设计教学就是要努力遵循教材的特点与学生的理解方式，为学生心智发展寻找最合适的途径与契机，尊重个性、展现差异，培养学生表达的欲望和倾听的习惯，在合作、交流、探究中实现精神相遇和思想相通.椭圆的简单几何性质看起来比较简单，教师讲起来不费劲，学生听起来比较顺畅，也会记住椭圆有哪些几何性质，但是遇到灵活度较高的解析几何问题时，其就很难将方程与曲线特征有机地结合起来，找不到问题解决的方案.究其原因，是由于学生没有充分经历交流探究
活动中肯定与否定的螺旋式认知过程.熟能生巧，学生的学习能力、探究意识、方法思想的获得需要一个频繁的确认、拒绝、接纳、修正和发展的过程，这在一言堂的课堂中是难以实现的，本课中学生围绕自己或他人的观点进行辩论、协商、讨论、质疑、启发、反思、探究，在问题解决的体验中初步获得、巩固数形结合的重要思想方法.
在课堂交流活动中师生是不平等的.学生预习是为了了解教学内容，而教师需要根据教学目标与学生水平设计课堂交流情境与问题，指引方向，让学生在获取知识与方法的过程中经历丰富的心智活动.尽管教师都会努力将自己所理解的内容全盘教给学生，但按照教师设想创设的问题不一定最适合学生，我们更需要将准备传授给学生的内容隐藏起来，营造出民主的教学氛围，智慧地设计情境，抛出问题，激励学生自己发现问题、提出问题、解决问题，置身于由问题激发问题的环境中，使基本方法、思想、精神在学生之间传播、共鸣、理解，实现思维启迪、方法交流、经验分享、思想激荡的目标，这也就是通常所说的教学方法与艺术.当然，这比直接讲授教学内容对教师的要求要高得多，需要其真正地理解教材、理解学生、理解教学.唯有学生的精彩表现才能彰显教学的价值与真谛，展现生命的涌动和成长.
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